Il sogno dell’unificazione

Nel suo libro “How Not to be Wrong. The Power of Mathematical Thinking” (tradotto in Italia col titolo “I numeri non sbagliano mai”), il matematico e divulgatore Jordan Ellenberg cita pochi matematici viventi. Tra questi, un solo caso italiano: “In questo momento -scrive Ellenberg- stanno facendo sensazione le affermazioni della giovane matematica italiana Olivia Caramello, secondo cui alcune teorie che governano molti ambiti diversi della matematica risultano, quando si scava sotto la superficie, strettamente correlate […] e che, di conseguenza, teoremi dimostrati in un campo matematico possono essere trasferiti in un’altra area che superficialmente appare totalmente diversa”.
Quando raggiungiamo la professoressa Caramello nel suo ufficio, a Parigi, è reduce dall’organizzazione di un convegno molto riuscito sul suo ambito di ricerca. “Le cose di cui mi occupo sono piuttosto difficili da comunicare ad un pubblico vasto, ma si può descrivere la filosofia che ci sta dietro”. Piemontese, 31 anni, laurea di primo e secondo livello in Scienze matematiche a Torino, dottorato al Trinity College di Cambridge, e -a partire dal 2009- ricerca: prima alla Normale di Pisa, al Jesus College ancora a Cambridge, al Max Planck Institute di Bonn, all’Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES) di Parigi e oggi  al Département de mathématiques dell’Université de Paris 7, con una borsa di ricerca intitolata a Marie Curie. È anche diplomata al conservatorio di Cuneo, in pianoforte.

“Ho sempre perseguito un approccio interdisciplinare nel fare ricerca, orientato all’obiettivo di unificare differenti branche della matematica tra di loro. Ci sono analogie e differenze tra le varie teorie matematiche: la cosa notevole è che tra queste possono esistere dei ‘ponti’, i quali permettono di disporre di molti punti di vista su uno stesso problema e quindi sono utili per tentare di risolverlo. Più precisamente, la mia ricerca consiste nell’investigare il ruolo dei ‘topoi’ di Grothendieck come spazi unificanti nella matematica e nella logica”.

Che cosa rappresentano questi “ponti” tra teorie?
“I topoi sono concetti astratti che si rivelano estremamente efficaci per servire da ‘ponti’unificanti ovvero per trasferire conoscenza tra differenti teorie matematiche.
Per spiegare di cosa si tratta, si può fare un’analogia con il processo di traduzione di testi: la costruzione di ponti tra teorie matematiche può essere interpretata come un metodo per tradurre informazioni dal linguaggio di una teoria al linguaggio di un’altra teoria.
Per effettuare una buona traduzione, una delle questioni fondamentali che ci si pone è quella di identificare le proprietà astratte dei testi (il significato, la musicalità…) che devono restare ‘invariati’ nel processo di traduzione. Una traduzione letterale procede dal basso verso l’alto, secondo un percorso guidato dal dizionario: suddividere il testo in frasi e le frasi in parole, tradurre parola per parola. Una buona traduzione invece dovrebbe procedere secondo una metodologia dall’alto verso il basso, partendo dall’identificazione di proprietà astratte del testo che si vuole rimangano invariate attraverso la traduzione. Lo stesso avviene con i topoi, che permettono di realizzare traduzioni di proprietà e costruzioni da una teoria all’altra in virtù del fatto che su di essi possono essere definiti diversi ‘invarianti’, che appunto non variano attraverso la ‘traduzione’ ma che si esprimono in maniere differenti in termini delle diverse teorie matematiche associate ad un dato topos.  Un’altra analogia, con la genetica, può essere utile a comprendere: come il DNA contiene le caratteristiche essenziali degli individui, così i topoi contengono le caratteristiche essenziali delle teorie matematiche”.

Come “funzionano” i topoi?
“Data una teoria matematica – normalmente presentata come insieme di assiomi scritti in un certo linguaggio – si possono considerare tutti i suoi ‘modelli’ , cioè le strutture in cui gli assiomi della teoria sono soddisfatti. In generale una teoria matematica può avere tanti modelli differenti.
Quand’è che due teorie hanno lo stesso contenuto matematico? Così come esistono molti modi diversi di descrivere le stesse cose, analogamente teorie matematiche diverse possono ‘raccontare’ la stessa storia. Come si scopre questo tipo di fenomeno? E’ qui che intervengono i topoi: ad ogni teoria (di un certo tipo alquanto generale) si può associare un topos, detto il “topos classificatore” della teoria, il quale appunto classifica tutti i suoi modelli. Tale topos costituisce in qualche modo il DNA della teoria, cioè la sua “essenza”, che è indipendente da come la teoria è “presentata”. Esiste dunque una dualità tra due livelli: la sintassi e la semantica. Il topos è il ‘cuore semantico’ di una teoria matematica.
Quando due teorie ‘raccontano’ la stessa storia, è perché hanno lo stesso topos classificatore. Dal punto di vista delle loro proprietà fondamentali, esse sono essenzialmente indistinguibili. Dal punto di vista sintattico, esse sono però differenti, e il fatto che siano classificate dallo stesso topos si traduce nell’esistenza di due rappresentazioni diverse per tale topos.
Il punto cruciale è che se due teorie hanno lo stesso contenuto, ovvero lo stesso topos classificatore, per poterle collegare si può utilizzare tale topos come un oggetto“ponte”che permette di trasferire dei risultati da una teoria all’altra considerando degli invarianti definiti su di esso. Semplificando, ciascun invariante darà luogo, nel contesto della prima teoria ad una proprietà espressa nel linguaggio della prima, e nel contesto della seconda teoria ad una proprietà espressa nel linguaggio della seconda: l’unificazione consiste nel fatto che c’è un’unica proprietà, definita a livello del topos, che si manifesta in modi diversi nel contesto di teorie differenti. A volte queste ‘traduzioni’ sono sorprendenti, perché collegano proprietà che all’apparenza non hanno legami le une con le altre. D’altra parte, l’identificazione del giusto ‘punto di vista’ da adottare su un dato problema spesso costituisce il preludio per la sua soluzione”.

Il sogno dell’unificazione consiste dunque nello sviluppare tecniche per trasferire le conoscenze da un settore all’altro.
“Esattamente. Già Grothendieck *, l’inventore del concetto di topos, aveva espresso questa aspirazione, ma la teoria dei topoi classificatori rimase sostanzialmente abbandonata per più di 30 anni. (. * n.d.r grande matematico metà russo e metà tedesco, che visse e lavorò per lo più in Francia, scomparso poco più di due anni fa)”.

Professoressa Caramello, che cosa vuol dire fare “bene” ricerca?
“Per poter fare ricerche innovative sono essenziali la passione, l’ispirazione e la capacità di credere nelle proprie intuizioni, senza farsi influenzare dalle mode che esistono anche nella scienza. Può non sembrare, ma anche in campi come il mio c’è un notevole investimento dal punto di vista emotivo. Conta anche l’aspetto ‘ambientale’, ovvero la possibilità di confrontarsi con i propri colleghi. La ricerca è un’avventura collettiva e per fare bene ricerca è importante sentirsi parte di una comunità.
Le istituzioni devono dare la libertà, di pensiero e di azione. Guardo quindi con una certa preoccupazione alle ultime tendenze in fatto di precarizzazione e subordinazione dei giovani ricercatori. Forse in altre discipline è necessario che i giovani studiosi debbano lavorare ‘al di sotto’ di “capi progetto”, ma almeno in matematica sarebbe meglio distribuire le risorse ad una base più ampia e in maniera meno accentrata, in modo da favorire l’originalità, la diversità e la libertà di pensiero. D’altra parte, le idee veramente nuove vengono quasi sempre dai giovani.
La ricerca non si traduce necessariamente in maniera immediata e tangibile in applicazioni pratiche. La ricerca fondamentale o di base è un investimento a lungo termine che apporta innanzitutto dei nuovi ‘modi di pensare’. È difficile quantificare quanto un modo di pensare possa portare in termini economici. Ma conta davvero? Le rivoluzioni scientifiche – si pensi ad esempio a quella copernicana – servono a cambiare il punto di vista, e i punti di vista sono essenziali, forse anche più dei risultati. Perché orientano le attività umane”.

© Riproduzione riservata